Cuando se hace un descubrimiento importante en la ciencia, quienes han trabajado en el tema suelen vivir el mejor de los tiempos en su carrera científica. Eso ocurrió, por ejemplo, cuando se anunció, un 4 de julio de 2012, que en el laboratorio de la Organización Europea para la Investigación Nuclear, el CERN, habían encontrado señales de una elusiva partícula, el bosón de Higgs. Dicha partícula es el remanente del mecanismo responsable de generar la masa de las partículas elementales.

Recuerdo haberle escrito por esas fechas a mi asesor del doctorado, el profesor Gordon Kane de la Universidad de Michigan, para compartirle mi júbilo. Él me dijo algo como: “es grandioso que eso que pensamos matemáticamente sea real, que ocurra en la naturaleza”.  Y ese es un punto que invita a la reflexión, sobre la relación entre la física y las matemáticas, “dos familias de igual rango y calidad”, parafraseando las líneas iniciales de Romeo y Julieta.

Aunque hay diferentes grados de formalidad en física y matemáticas, e incluso entre diferentes ramas de la física, es notable que el mundo ideal de las matemáticas nos sirva para describir la naturaleza. Einstein lo expresó del modo siguiente: “Es increíble que las matemáticas, habiendo sido creadas por la mente humana, logren describir la naturaleza con tanta precisión”.

Por un lado, las matemáticas son una disciplina estricta y exacta, con verdades o teoremas que deben demostrarse de forma rigurosa. Sus elementos son entes ideales, que viven en un mundo abstracto. Son también una herramienta que permite enunciar las leyes de la física, incluso podríamos decir que es el lenguaje que mejor expresa las ideas de la física.

En las teorías más establecidas, como la electrodinámica o la mecánica clásica, se conocen muy bien las ecuaciones básicas; en tal caso, el progreso viene del desarrollo de métodos matemáticos para resolver dichas ecuaciones. Por ejemplo, cuando queremos tener una mejor predicción del clima en nuestro planeta, necesitamos computadoras más poderosas que nos permitan resolver numéricamente las ecuaciones de la mecánica de fluidos aplicadas a la atmósfera. 

“Es increíble que las matemáticas, habiendo sido creadas por la mente humana, logren describir la naturaleza con tanta precisión”. —Einstein

Sin embargo, la historia de la física nos dice que muchas veces las puras ideas formales no permiten avanzar, en especial cuando desconocemos las ecuaciones que describen un sistema o algún fenómeno. O bien, puede ser que se tengan varias ecuaciones que describen un mismo sistema físico.

En ese caso, el puro razonamiento no permite decidir cuál es la ecuación correcta; para poder avanzar es necesario realizar mediciones precisas de las propiedades del sistema físico. La teoría matemática es insuficiente, por lo que se necesita realizar experimentos que permitan discriminar entre las diferentes teorías que pueden describir un mismo fenómeno.

¿Y cuáles son las ecuaciones que describen el mundo de las partículas elementales y sus interacciones? Todos recordamos de nuestros cursos de matemáticas de la secundaria o la preparatoria que las ecuaciones usan símbolos algebraicos. Para el propósito de este artículo, no es necesario usar todos los símbolos y operaciones que las describen de forma completa. Basta decir aquí que a cada partícula elemental le corresponde un ente matemático que llamamos campo cuántico, y se usa alguna letra latina o griega para representarlo y trabajar sus propiedades.

Así, para el electrón, que anda por todas partes, ya sea en las corrientes eléctricas o girando dentro de los átomos, se usa simplemente su inicial e. El electrón tiene un par de hermanitos más pesados, que los llamamos muon y tau, y a los dos junto con el electrón, se les llama leptones; para denotar el correspondiente campo cuántico se usan las letras griegas mu y tau. 

Los protones y neutrones se denotan también por sus iniciales p y n, respectivamente. Cabe decir que ni el protón ni el neutrón son tan fundamentales como el electrón, pues se ha medido que tienen un tamaño.

A cada partícula elemental le corresponde un ente matemático que llamamos campo cuántico.

De hecho, sabemos que el protón y el neutrón se conforman por otras partículas, los llamados quarks. Dos de ellos, de los seis en total que se conocen, se denotan por las letras u y d, por las iniciales en inglés de arriba (up) y abajo (down), tal que el protón está formado por una combinación uud, mientras que el neutrón tiene una composición udd.

Los quarks se ligan por una interacción más fuerte que el electromagnetismo; esta fuerza también es responsable de mantener unidos a los protones dentro del núcleo atómico, y es tal que debe vencer la repulsión que sienten los protones por tener una carga eléctrica del mismo signo.

En la teoría cuántica, las fuerzas surgen como consecuencia del intercambio de otras partículas, las mediadoras de dichas fuerzas. Esto es como si mirásemos a unos jugadores de básquet y notáramos desde lejos que se mantienen juntos, pero ya de cerca vemos que es así porque están peleando por la pelota.

La pelotita o partícula mediadora del electromagnetismo es el quantum de luz, el llamado fotón, y se denota con la letra A; también se tienen otras tres partículas del mismo tipo, los bosones W+, W− y Z0, que son mediadores de otra fuerza, la llamada interacción nuclear débil. Esta es responsable del decaimiento beta, mediante el cual un neutrón decae en un protón y un electrón. Para que se respete la conservación de la energía en el decaimiento beta, se requiere introducir una nueva partícula, neutra, casi sin masa, llamada neutrino (una especie de neutrón pequeñito, denotado por la letra griega nu). De hecho, a cada uno de los leptones cargados (e, mu y tau) les corresponde un neutrino diferente (nu-e, nu-mu y nu-tau).

En el caso de los quarks, la fuerza fuerte es mediada por otras partículas llamadas “gluones” (de glue, pegamento en inglés), y esta fuerza tiene la propiedad de aumentar con la distancia, como si fuera un resorte, tal que los quarks están casi libres dentro del protón, pero se resisten cuando intentamos separarlos; a esta propiedad se le llama “libertad asintótica”.

La masa de las partículas elementales surge de su interacción con el vacío.

Todas las partículas conocidas, seis leptones, seis quarks, ocho gluones, el fotón, los W y Z, se describen con un complejo conjunto de ecuaciones, que llamamos “El Modelo Estándar”, el cual es tan complicado como poderoso, capaz de describir miles de datos experimentales. Al mismo tiempo, el conjunto de las ecuaciones es tan sencillo que cabe en una taza (Figura 1).

Figura 1

Un elemento central para poder expresar de forma tan compacta dichas ecuaciones es el concepto de simetría. Las simetrías se ilustran, por ejemplo, con una esfera perfecta que se puede rotar y nunca notaríamos la diferencia. En tres dimensiones, la ecuación de la esfera es muy sencilla: radio=r=constante, y esta ecuación incorpora la simetría de la esfera. En el caso de las partículas, las simetrías son operaciones que “rotan” los campos asociados con cada una de ellas.

Es como si hiciéramos un licuado, y agregamos las letras de una palabra; y luego, aunque se revuelva la mezcla, al final las letras quedan en el mismo lugar. El conjunto de todas las transformaciones forma un ente matemático llamado “Grupo de Lie”; en la naturaleza, el grupo completo tiene una estructura representada por “SU3c×SU2L×U1Y”, que representa ocho gluones, un par cargado W+ y W−, así como otro par neutro, el Z y el fotón A.

Podemos decir que somos hijos de la imperfección.

Hay algunas partículas que no tienen masa, como el fotón y los gluones. Mientras que los W, Z, así como todos los quarks y leptones cargados, tienen masa. Resulta que el concepto de masa, no se lleva muy bien con las simetrías. Sin embargo, existe una manera de incluir la masa sin violentar las simetrías.

Para ello preguntamos si las simetrías que asociamos con las partículas son también una propiedad del vacío. Cuando eso no ocurre, aparece el fenómeno de ruptura espontánea de las simetrías. Para implementar esta idea, se usa un ente llamado campo de Higgs, que se denota por la letra griega Phi, y que corresponde al mínimo de energía. Para la mayoría de los campos, el mínimo de energía ocurre cuando el valor del campo es cero, pero eso no sucede para el campo de Higgs. La forma de la energía se parece al sombrero mexicano, como se ilustra en la Figura 2, el mínimo está en la base circular del mismo.

Figura 2

Así pues, la masa de las partículas elementales surge de su interacción con el vacío. De alguna manera, la masa es como una señal de imperfección de la teoría. Dado que la masa es necesaria para que las partículas estén en reposo y tengan tiempo de formar átomos y moléculas,  indispensables para que se forme la vida que conocemos, podemos decir que somos hijos de la imperfección. Esto tiene cierto parecido con la forma como se construyen los templos japoneses, que incluyen un elemento diferente, o equivocado, para recordarnos que somos imperfectos.