Si fueras el director del Banco Central, ¿qué billetes o notas bancarias y con qué denominaciones dejarías de imprimir? Veamos.

Con la creación del euro, introducido en forma de efectivo el 1° de enero de 2002, surgió una moneda transnacional de gran importancia para Europa y para el mundo entero. Nuevas notas bancarias tuvieron que ser impresas, nuevas monedas fueron acuñadas. El Banco Central Europeo (BCE) no lo hizo a la ligera, ya que la denominación exacta y el número de billetes que se deja de producir es algo que afecta posteriormente a todo consumidor en el momento de hacer pagos. 

Así fue que el BCE decidió emitir efectivo con las denominaciones 1, 5, 10, 20, 50, 100, 200, lo que se llama serie binaria-decimal para notas bancarias. No existe el billete de un euro, pero sí la moneda correspondiente.

El problema del espaciamiento óptimo de las denominaciones de monedas y billetes ha interesado a economistas y matemáticos por siglos. Algunos países han impreso billetes con denominaciones que se antojan exóticas, por ejemplo: 3, 6, 45 o hasta 90. Pero según Mark Wynne, de la Reserva Federal en Dallas, de entre 156 países, 62 utilizan el sistema binario-decimal, completo hasta la denominación 1000, o truncado hasta una denominación menor. Diez países más utilizan el sistema 1, 2.5, 5, 10, 25, 50.

El espaciamiento óptimo de las denominaciones de monedas y billetes ha interesado a economistas y matemáticos por siglos.

Desde la Revolución Francesa, el sistema métrico decimal se ha extendido por el mundo. La base del sistema es 10, y contamos utilizando múltiplos de 1, 10, 100, 1000, etc. (unidades, decenas, centenas o millares). En las escuelas aprendemos a sumar y restar, multiplicar o dividir, utilizando el sistema decimal. Se puede decir que lo decimal está incorporado en nuestra psique, por los diez dedos que tenemos. Por eso es más sencillo pagar si hay que calcular precios y el cambio correspondiente en base decimal.

Ahora bien, un sistema de notas bancarias puramente decimal (es decir con denominaciones de billetes de 1, 10, 100, 1000, etc.) requiere de muchos billetes en la cartera para poder pagar todos los precios. Si, por ejemplo, queremos cubrir todos los precios posibles entre 1 y 999, necesitaríamos tener en la cartera nueve billetes de un euro, nueve de diez euros y nueve de cien euros (27 billetes en total). Por ejemplo, pagaríamos 17 euros con un billete de diez y siete billetes de un euro.

Supongamos ahora, por el contrario, que el Banco Central decide emitir billetes con las denominaciones 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512, es decir, múltiplos (potencias) de dos. Con estos diez billetes en la cartera, es posible pagar cualquier precio entre 1 y 1023 euros. Un precio de 45 euros, por ejemplo, se pagaría con cuatro billetes de, respectivamente. 32, 8, 4 y 1 euro. Obviamente, diez billetes son mucho menos que 27 billetes en la cartera y el rango de precios que se puede cubrir es casi el mismo. Se podría experimentar con otras secuencias para los billetes bancarios, como 1, 3, 9, 27, etc., pero, es fácil comprobar que las potencias del número dos constituyen una base óptima para realizar pagos en efectivo.

El sistema binario de notas bancarias ilustrado arriba es más compacto, requiere menos billetes, pero es más difícil seleccionar los billetes adecuados al momento de pagar. Lo que para el Banco Central sería conveniente (imprimir pocos billetes), es inconveniente para el consumidor que tendría que operar con el sistema binario para pagar.

Los consumidores tratan de minimizar el número de billetes y monedas que utilizan, considerando también el cambio que van a recibir.

¿Qué podemos hacer? Pues un compromiso. Al utilizar la serie 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, etc., pasamos de la mayor parte de las denominaciones a la siguiente multiplicando por dos (por ejemplo, pasamos de 1 a 2, de 10 a 20), pero de vez en cuando se toma una denominación que simplifica los cálculos mentales (pasamos de 2 a 5, de 20 a 50). El sistema que se obtiene al final no es tan compacto como el sistema puramente binario, pero es más fácil de utilizar para los cálculos mentales.

Antes de la introducción del euro, algunos países registraron la forma en que las personas hacen pagos con sus carteras, poniendo observadores en las cajas de tiendas y supermercados. Se pudo comprobar que los consumidores tratan de minimizar el número de billetes y monedas que utilizan, considerando también el cambio que van a recibir. En muchas transacciones la diferencia del número de monedas o billetes realmente usados con respecto a la combinación óptima era de, cuando mucho, una unidad, un billete o moneda de más. Por eso, tal parece que esta tendencia a portar la cartera más flaca es una motivación real e importante para los consumidores.

Curiosamente, en las computadoras se presenta el mismo problema, el de representar números de la forma más compacta posible. A las computadoras les da igual si utilizan el sistema decimal o el binario, al cabo no fueron a la escuela. Pero resulta que, internamente, utilizan el sistema binario porque es más eficiente y compacto, y al momento de comunicarse con nosotros nos despliegan el resultado en forma decimal, condescendientes con el hecho de que no somos tan rápidos como ellas para operar con números en la cabeza.

Por eso, la próxima vez que vacíes tu cartera, reflexiona lo siguiente: muchos aspectos de la vida diaria, como el tipo de monedas que llevas contigo, tienen su base en las matemáticas.