El llamado teorema de Pitágoras es un fragmento de saber geométrico que antecede por mucho la época en la que vivió el sabio griego, en el siglo sexto A.C. Dado un triángulo con un ángulo recto, como el mostrado en la Figura 1, denotamos a la longitud de sus lados ortogonales con las letras a y b, mientras que c es la longitud de la llamada hipotenusa (la línea contraria al ángulo recto). 

El teorema nos dice que a² + b² = c², es decir, “la suma de los cuadrados de los dos lados es igual al cuadrado de la hipotenusa”. En la escuela solemos recitar la frase, sin demostrar nunca su veracidad. Eso es lo que queremos corregir aquí.

Figura 1. Triángulo con un ángulo recto.

Este teorema es tan vetusto que se han encontrado tablillas de arcilla provenientes de Mesopotamia que ya lo mencionaban, y que tienen una antigüedad de 3,700 años, es decir, fueron elaboradas mil años antes que naciera Pitágoras. 

Otras tabletas de arcilla dan listas de tripletes (a,b,c) de enteros que corresponden a triángulos rectángulos. Es el caso de la famosa tableta Plimpton 322, albergada en el Museo Británico y que fue elaborada en el año 1800 A.C. Por ejemplo, los tripletes (3,4,5), (5,12,13) y (8,15,17) representan las longitudes de los lados de tres triángulos rectángulos.

El llamado teorema de Pitágoras antecedió por mucho la época en la que vivió el sabio griego.

Estas compilaciones de tripletes tenían una aplicación práctica: utilizando una cuerda con nudos dispuestos en intervalos iguales y clavando tres estacas de manera que permita obtener dos líneas ortogonales (en un ángulo de 90º), como en la Figura 2, se genera un triángulo rectángulo de dimensiones (3,4,5). De esa manera se obtiene una “escuadra” que puede servir para medir o alinear terrenos, una preocupación tanto de los egipcios como de los babilónicos.

Figura 2. Escuadra con nudos dispuestos en intervalos iguales y tres estacas.

El teorema se le ha atribuido a Pitágoras, como muchas otras cosas. De la vida del polímata griego se sabe poco de fuentes directas, ya que sobre él se comenzó a escribir 150 años después de su muerte. Pitágoras era originario de Samos, una isla cercana a Asia Menor, donde fundó la escuela que tuvo muchos seguidores.

A los cuarenta años emigró a Crotón, en la parte sur de Italia, donde continuó enseñando matemáticas, filosofía, vegetarianismo y la transmutación de las almas. Su fama se expandió y acabó convirtiéndose en una leyenda. Hoy no sabemos si muchos de los descubrimientos y enseñanzas que se le atribuyen fueron realmente suyos o de sus seguidores. 

Quizás la revelación más poética que se le atribuye a Pitágoras es haber propuesto que los siete cuerpos celestes conocidos en la antigüedad se desplazan obedeciendo regularidades numéricas que llamó “la música de las esferas”. En algún diálogo de Aristóteles se dice que cuando a Pitágoras le preguntaron para qué existen los humanos, respondió: “para observar los cielos”. 

Se han encontrado tablillas de arcilla provenientes de Mesopotamia que ya lo mencionaban.

Como quiera que sea, teorema de Pitágoras o no, la relación numérica a² + b² = c² ha fascinado desde siempre a los matemáticos: a cualesquiera tres enteros que satisfacen la expresión se les llama “tripletes pitagóricos”. 

Hay catálogos en Internet de los primeros cien o mil tripletes y es un ejercicio frecuente, para quienes comienzan a programar computadoras, ponerlos a producir largas listas de tripletes pitagóricos. En cursos de teoría de los números se pide a los estudiantes demostrar que el único triplete en el que figuran enteros sucesivos es (3,4,5), o que existe una infinidad de tripletes pitagóricos con c = b + 1.

Aquí quiero presentar la demostración más sencilla que existe del teorema de Pitágoras. Si dibujamos cuatro veces un triángulo con lados (a,b,c), como se muestra en la Figura 3, el cuadrado de la hipotenusa c (es decir c²) está representado por el área verde. La superficie de los tres triángulos (a,b,c) está representada por las regiones amarillas. En total tenemos un cuadrado con lados de longitud a + b.

Figura 3. El cuadrado de la hipotenusa c está representado por el área verde.

Si ahora simplemente redistribuimos los triángulos amarillos de la manera mostrada en la Figura 4, podemos ver claramente que la superficie amarilla sigue siendo la misma, mientras que la superficie verde está ahora dividida en dos cuadrados con áreas respectivas a² y b². Es decir, igualando las superficies coloreadas de verde, a² + b² = c².

Figura 4. Otra distribución de los triángulos amarillos.

Yo no sé a ustedes, pero a mí se me enchina la piel con una demostración tan elegante, simple y “sin palabras”. Basta mirar las dos figuras, sin utilizar álgebra o ecuaciones, para percibir de inmediato la veracidad del teorema.

En museos con exposiciones de matemáticas se utiliza a veces una demostración “líquida” del teorema. Se confeccionan cuadrados con la longitud de sus lados iguales a cada uno de los lados del triángulo recto. Se llena de agua el cuadrado que corresponde a c², pero al girar el triángulo, el agua puede desplazarse a los cuadrados que representan a² y b², hasta llenarlos perfectamente. Y viceversa. Es una visualización muy original del teorema.

Figura 5. Demostración del teorema en exhibición de un museo.