Las matemáticas han sido llamadas la ciencia de los números. ¿Pero qué es un número? La pregunta no es ociosa. Hay muchos conceptos en las matemáticas que son intuitivos, pero cuando nos preguntan, no son fáciles de precisar. Por ejemplo, Euclides definía un punto como aquello que “no tiene partes ni medida”. Una línea a veces se define como un objeto que sólo tiene longitud, pero no tiene ancho. Estos enunciados apelan a la intuición geométrica del lector, pero no son definiciones realmente útiles para poder después argumentar lógicamente.

En el caso de los números, todos sabemos que podemos ir asociando los dedos de la mano con los objetos en una mesa, contándolos. Pero dar una definición rigurosa de los números es complicado, tan complicado que apenas en el siglo XIX se desarrollaron los sistemas axiomáticos (incontrovertibles) con los que se puede operar teóricamente de manera rigurosa.

Lo mejor que se puede hacer, para definir el concepto de número, es proceder a través de relaciones lógicas. Lo haríamos así: declaramos que N es el conjunto que contiene a todos los números enteros positivos, a los que se llama “números naturales”.

N es como un cajón que contiene todos esos naturales. Ahora hay que ir describiendo lo que hay en el cajón.

Comenzamos diciendo que el símbolo 1 es un elemento en el cajón N (Principio 1). Así ya hemos identificado a nuestro primer número.

Ahora agregamos que todo número está asociado a otro número llamado su sucesor (Principio 2). Por eso, el 1 está asociado al sucesor de 1, que podemos abreviar con el símbolo 2. El 2 tiene un sucesor que podemos abreviar con el símbolo 3, y así sucesivamente. Tenemos una cadena de números que se va extendiendo. El símbolo que escojamos para representar los números es arbitrario, podrían ser alfa, beta y gama, en vez de 1, 2, 3. Lo importante es que recordemos cual número sigue después de otro.

Sin embargo, no queremos que la cadena de los números se cierre como un anillo (lo que sucedería si 1 fuera el sucesor de 4, por ejemplo). Tampoco queremos que la cadena regrese a sí misma y forme un bucle, lo que ocurriría si 2 fuera el sucesor de 3. Queremos evitar estos casos:

Para impedir que se forme un anillo, declaramos que el 1 no es sucesor de ningún número (Principio 3). El uno es el inicio de toda la cadena. Para evitar un bucle, demandamos que dos números distintos no puedan tener el mismo sucesor (Principio 4). Como 2 ya es el sucesor de 1, no puede ser también el sucesor de 3.

Con estos cuatro principios, en el cajón N tenemos una cadena de números como ésta:

La cadena es infinita, porque ya dijimos que cada número tiene un sucesor y como no puede cerrarse formando un anillo, ni un bucle, tiene que continuar sin fin.

Pareciera que con estos pocos principios ya tuviéramos en el cajón todos los enteros positivos. Pero ya que es un cajón, hay que poner en claro que únicamente esos enteros positivos pueden estar adentro. Es decir, queremos evitar que suceda algo como esto:

Tenemos los números 1, 2, 3, etc., pero también los números a, b, c y d. Se cumplen todos los cuatro principios introducidos hasta ahora: el 1 está en el cajón, todo número tiene un sucesor, el 1 no es sucesor de nadie y los sucesores son únicos.

Para eliminar la “basura” nos hace falta un principio que llamamos el “principio de inducción” (Principio 5). Éste solo dice que, si una afirmación es válida para 1, y qué, si la validez de la afirmación se transmite de cualquier número a su sucesor, entonces la afirmación es válida para todos los números en el cajón N. En otras palabras: si comenzamos con 1 y vamos pasando de cada número a su sucesor (al 2, al 3, al 4, etc.) debemos recorrer todos los números en el cajón sin que falte ninguno. Un anillo extra, como el a-b-c-d, no es posible, si tenemos el principio de inducción, porque no hay manera de llegar a ese anillo comenzando con el 1 y siguiendo la cadena de sucesores.

Estos cinco principios son llamados los “axiomas de Peano”, en honor al matemático italiano Giuseppe Peano. Básicamente lo que dicen es que el concepto de número lo dejamos indefinido inicialmente y más bien procedemos a construir el conjunto de los números, postulando los cinco principios arriba mencionados. Lo que queda en el cajón, al aplicar los axiomas, esos son los números naturales.

Esa es la forma en la que operan las matemáticas modernas: se trabaja con objetos que se omite definir al principio (se les llama “conceptos indefinidos”). Su definición estará dada por un proceso de construcción axiomática que establece las relaciones lógicas entre todas las estructuras que se van “construyendo”.

Así se crean los números: de la nada. Lo mismo sucede con los conceptos de punto y línea en la geometría moderna. “Dos puntos definen una línea” y “dos líneas se pueden intersecar en un sólo punto”, así rezan dos axiomas, sin que se explique de antemano que es un punto o que es una línea.

Por todo eso, una mejor definición de las matemáticas sería ésta: es la ciencia de estructuras abstractas y sus relaciones lógicas. Los números, que todos conocemos, son un ejemplo de dichas estructuras abstractas.