Imagínate que te han encargado supervisar las elecciones de representantes a un consejo constituido por 10 personas, elegidos de entre dos listas, la lista A y la lista B. Supón que se emitieron 1,000 votos en total, expresando preferencia por una de las dos listas. Los votos se repartieron como sigue:

Lista A: 738 votos          Lista B: 262 votos

¿Cómo debemos repartir las 10 curules del consejo entre las dos listas? Lo ideal sería tener una representación proporcional, es decir, tal que cada lista obtenga un número de curules proporcional a su porcentaje de votos. Entonces, si 10 curules representan mil votos, al usar la regla de tres, a la lista A le tocarían 738×10/1000=7.38 curules, y a la lista B le tocarían 2.62 curules.

El problema es que, desafortunadamente, no se pueden asignar fracciones de curules, sino solo números enteros de curules.

Una opción para lograr la proporcionalidad de facto en las decisiones del consejo sería hacer cierta repartición de las curules (por ejemplo, 8 para la lista A y 2 para la lista B) y compensar la no-proporcionalidad de esa repartición al dar un peso diferenciado a cada representante para que los 8 representantes de la lista A “pesen” en total 7.38 votos y que los 2 de la lista B “pesen” 2.62 votos. No obstante, en situaciones electorales un cambio de paradigma así sería muy difícil de aceptar, por lo que nos quedamos en que un representante tiene un voto.

La mala noticia, entonces, es que no podemos garantizar la proporcionalidad exacta; la buena noticia es que muchas personas en la historia, desde políticos como Thomas Jefferson o Alexander Hamilton, hasta matemáticos como Victor d’Hondt estudiaron este problema y han propuesto compromisos aceptables, que permiten alcanzar una repartición que, aunque no sea rigurosamente proporcional, se encuentre muy cerca de serlo. A continuación describimos dos de estos métodos.

Método de Hare-Niemeyer

Con este método comenzamos asignando a cada lista un número de curules, que es simplemente el resultado de la regla de tres descrita arriba, suprimiendo la parte fraccionaria. De esa manera, en nuestro ejemplo, asignamos 7 curules a la lista A y le asignamos 2 curules a la lista B, como ilustramos abajo:

Lista A:   738×10/1000=7.38          Lista B:   262×10/1000=2.62

En total, habremos asignado 7+2=9 curules de esa manera. Es decir, nos falta asignar una curul. En general, si hubiera más listas, podría haber más que una curul por distribuir.

La regla que seguimos para asignar las curules restantes de manera equitativa es la siguiente: entre todas las listas, vemos cuál tiene la mayor parte fraccionaria en su número ideal de curules y le otorgamos una de las curules restantes. A la lista con la segunda mayor parte fraccionaria, le daremos otra curul, etc., hasta que hayamos asignado todas las curules que faltan. En nuestro caso, la única curul faltante irá a la lista B, ya que la fracción 0.62 es superior a 0.38.

Lista A:   738×10/1000=7.38

Lista B:   262×10/1000=2.62 +1 curul por mayor parte fraccionaria = 3

Muchas personas, desde políticos hasta matemáticos, han estudiado este problema y han propuesto compromisos aceptables.

Método d’Hondt-Jefferson

Este segundo método requiere, por lo general, repetir varias veces hasta “atinarle”, el procedimiento que describimos a continuación. Vimos que el método Hare-Niemeyer atribuye primero curules a prorrata del porcentaje de votos obtenidos, eliminando la parte fraccionaria. Vimos que al principio eso deja ciertas curules sin asignar.

Imagina ahora que repitamos esta misma operación con un número de curules virtuales, superior al número de curules por atribuir teóricamente. Por ejemplo, 11 curules en lugar de las 10 que tiene el consejo en nuestro ejemplo. Si aplicamos la regla de tomar el número ideal de curules, sin considerar la parte fraccionaria, obtenemos:

Lista A:   738×11/1000=8.118

Lista B:   262×11/1000=2.882

La lista A obtiene ahora 8 curules y la lista B obtiene 2, por lo que ya asignamos las 10 curules realmente existentes. En el caso general, este proceso puede necesitar que probemos con varios valores del número de curules virtuales hasta que se logra asignar todas las curules reales. En todo caso, la solución siempre existe.

Algo interesante es que este segundo método ¡no produce el mismo resultado que el primero! Con el método de Hare-Niemeyer obtenemos una repartición en proporción 7/3, y con el método d’Hondt-Jefferson la proporción es 8/2.

Una pregunta que nos podríamos hacer es hasta qué punto estos métodos son “justos”. Resulta que se puede demostrar que ambos métodos lo son en cierta medida, en el sentido de verificar lo que se llama la regla del cociente. Esta regla nos dice que, si una lista tiene cierto número ideal de curules (incluyendo su parte fraccionaria) entonces el algoritmo de asignación deberá asignar a esta lista un número de curules igual al entero justo abajo o al entero justo arriba del número ideal. Eso significa que, en el peor de los casos, para cada lista el error máximo es de una curul. En nuestro ejemplo, esta regla se verifica para ambos métodos.

Otro punto interesante es que el método d’Hondt-Jefferson tiende a ser más favorable a los partidos más grandes. Para convencerse de esto, compara la segunda etapa del método Hare-Niemeyer (la que atribuye las curules restantes) con alguna de las iteraciones del método de d’Hondt-Jefferson: en el método Hare-Niemeyer, lo que determina si una lista recibe una curul de las restantes es la parte fraccionaria de su número ideal de curules; esta cantidad en sí es a priori independiente del número sin parte fraccionaria y entonces de la fuerza relativa de la lista. En cambio, con el método de d’Hondt-Jefferson, cualquier cambio de asignación de curul en una de las iteraciones es resultado de un incremento por una cantidad que está multiplicada por el total de votos de esta lista.

Una variante del método de Hare-Niemeyer se usa para elegir diputados plurinominales en México.

Por ejemplo, cuando usamos 11 curules virtuales después de haber usado 10, los números por lista cambian como sigue:

Lista A:   738×10/1000=7.38 a 738×11/1000=8.118

Lista B:   262×10/1000=2.62 a 262×11/1000=2.882

Como se puede ver, este cambio depende de la proporción de votos recibidos, que para la lista A fue de 738/1000 y “solo” de 262/1000 para la lista B. Por eso, adquirir una nueva curul real al aumentar las curules virtuales resulta más fácil para una lista que ha obtenido más votos en total.

Estos dos algoritmos son ejemplos de métodos de repartición que se usan de una forma u otra en muchos países en el contexto de elecciones con formas de representación proporcional (con diputados plurinominales). Una variante del método de Hare-Niemeyer se usa para elegir diputados plurinominales en México.

No es difícil construir otros métodos de repartición empezando, por ejemplo, con la pregunta ¿por qué no redondear los resultados hacia el entero más cercano en lugar de siempre hacia abajo? Hacerlo nos lleva a otro algoritmo bien conocido, el método de Sainte-Laguë, utilizado en Alemania.

El problema planteado aquí ha originado una extensa literatura, y las matemáticas nos ayudan a describirlo y estudiarlo de manera “formal”, para sugerir mejoras o extensiones.

Claro que una pregunta que surge es: ¿cuál es el mejor método? Lamentablemente, no existe algo como el mejor algoritmo, un ganador universal que se llevará la copa de la repartición equitativa. Cada método tiene sus ventajas y desventajas (se habla en este contexto de paradojas). Pero entender cómo funcionan los algoritmos y sus ventajas o desventajas permite abordar el tema con objetividad y serenidad. Y eso ya es algo muy valioso en el ámbito electoral, ¿no crees?

Recuadro

Si quieres observar el efecto de los diferentes algoritmos en un caso real, puedes utilizar el siguiente simulador que desarrollamos en el CIMAT.  Utiliza los datos de las elecciones de 2021 en México y, en particular, se enfoca en la atribución de curules plurinominales. Esta atribución se hizo con principios similares a lo que se explicó en este texto, pero a nivel de estado. Otra diferencia es que, para poder “competir” en la atribución, una lista tiene que reunir un mínimo de porcentaje de votos. http://shiny.cimat.mx:3838/elections/